參數估計與假設檢定
聽說是堂講了太多數學式而被客訴的課，內容真的非常多數學跟符號，非本科系如我確實很吃力。不過，如果沒有這些代數，還真的不知道要如何把這樣的概念一般化／抽象化。看來，只能努力提升自己的實力了！
前面講了統計基本概念，也知道可以透過樣本的機率分布，來推測觀察現象的本質（重要參數）。因此，利用樣本統計量（如平均），來猜測母體重要參數，即為所謂的參數估計（Parameter Estimation）。比如說，我想知道全台灣男性的平均體重（母體參數），但實務上不可能得知，因此抽樣了100位男性，計算其各種統計量，試圖推論全台灣男性的平均體重。下圖非常清楚描述了這樣的概念。
要進行參數估計，有兩大類的方法。一種是直接猜母體參數是多少（學名為點估計），另一種是猜母體參數介於哪個區間（區間估計）。
點估計的方式有很多，要成為好的點估計方法必須符合不偏（Unbiasedness）、有效性（Efficiency）與一致性（Consistency）。吳介紹了其中一種點估計方法－最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation，簡稱MLE）。
繼續剛剛全台灣男性體重的例子。假設全台灣男性體重是常態分配，但我們不知道平均是多少公斤，而透過我們抽樣的100位男性之體重（分布如下圖紅點），我們可以找到一個最接近、最配適（也就是最可能、最概似）的某個常態分配，而這個常態分配之平均就是我們的MLE估計值。假設這100位男性體重都不超過55公斤，那麼母體平均是70公斤的可能性（Likelihood）是非常低的！（除了你是奶油桂花手）
而區間估計則是在一信賴水準（Confidence Level）下，估計母體參數會落哪哪個區間。以台灣男性體重為例，我可以說在95%的信賴水準之下，平均體重會介於51公斤至52公斤。那麼，什麼是信賴水準，又為什麼我可以說平均體重是介於51至52公斤呢？
信賴水準95%，表示進行100次抽樣，並計算100 次信賴區間，該區間會包含母體參數95 次（外星語again）。以下圖為例，假設台灣全體男性平均體重為50公斤，而我們每次抽樣台灣男性10位，計算體重信賴區間（95%信心水準），並畫成下圖的一條線，該線（區間）若包含50公斤，則為橘色，若不包含則為紅色。就這樣進行300次，那麼其中有287次為橘色，機率約95%（次數約多應該越接近95%），這就是信賴水準。
決定了信賴水準，就可以計算信賴區間了。會影響信賴區間大小的因素包含了樣本平均、樣本大小、樣本變異數與信賴水準，透過這幾個參數就可以算出區間了。詳細計算則可透過類似這樣的網頁工具來了解。
另一種區間估計法則是貝葉斯推斷（ Bayesian inference）。我個人認為以下由Jimmy Lin翻譯之文章 「貝葉斯推斷的運作原理 」已經非常清楚且易懂，不敢掠美，謹附上連結。
接下來介紹假設檢定（Hypothesis Testing）。舉例來說，我們想知道美國麻州的加油站汽油平均售價是否為每加侖2.5元，因此隨機抽樣了20家加油站，結果平均每加侖是2.2元。那麼，這30%的差異，只是因為抽樣的偏誤，還是其實母體平均（麻州所有加油站）根本不是2.5元？
這時候假設檢定就派上用場。首先我們把想要檢驗其正確性的設為虛無假設（Null hypothesis，簡為 H0），也就是麻州汽油均價2.5。相對於虛無假設者即為對立假設（Alternative hypothesis，簡為H1），此例為麻州汽油均價大於、小於或不等於2.5。
而假設檢定有可能犯下兩種錯誤，一是型一錯誤（Type I error，又稱偽陽性），表示拒絕了真的虛無假設，二是型二錯誤（Type II error，又稱偽陰性），表示支持了錯誤的虛無假設。以下圖為例，若虛無假設為未懷孕，左邊誤判男性懷孕（拒絕相信這位很Man的男生沒懷孕…）為Type I，右邊誤判孕婦未懷孕（支持這位大腹便便的女性只是水腫而不是懷孕…）則為Type II。其中型一錯誤的機率又稱為 α，又稱為顯著水準（Significance level），可想成是容忍犯錯的空間。
有了假設，以及容許犯錯的空間，接下來就可以決定採用何種檢定統計量（Test Statistics），來決定要不要接受虛無假設。不同情況下，該採用何種檢定統計量可參看下表。如假設麻州加油站之汽油售價是常態分配，但不知道其標準差，那麼我們就應該採用第二種t檢定統計量（符合自由度為n-1之t分配）。其他常見的檢定統計量還包含Z、F與卡方。
而決定要不要接受虛無檢定之方法有兩種，拒絕域法（Rejection Region Approach，又稱Classical Approach）與p值法。拒絕域法是先計算出拒絕區域（如汽油均價大於2.4元），然後檢驗檢定統計量是否落入這個區域，若是則拒絕虛無假設，反之則接受。 接受域與拒絕域的接點，稱為臨界點（ Critical Point）。
比較常用的是p值法。假設虛無假設為真，觀察到檢定統計量比取樣得到的值更為極端的機率即為p（火星文再現）。以麻州汽油均價為例，p值是指假設母體均價為2.5，那我們抽樣之平均大於2.2的機率是多少。當機率（p值）越低，表示我們越有信心可以拒絕虛無假設。
Yen-Chi Chen說得非常好，p值是一種無單位的通用指標，讓我們在各種不同資料的檢定中，只要比較p值與α之間的關係就好。
